在一个群中，给定一个元素，群中所有与该元素均可交换的元素的集合，称作该元素在群上的中心化子。而群的中心色是这个群中所有元素的中心化子的交集，它表征了群中可交换元素的性质。
概念[]
设有群
G
{\displaystyle G}
，设
g
∈
G
{\displaystyle g \in G}
，则集合
C
G
(
g
)
:=
{
a
∈
G
|
a
g
=
g
a
}
C_G (g) := \{ a \in G | ag = ga \}
称
g
{\displaystyle g}
在
G
{\displaystyle G}
上的中心化子（centralizer），可以将其概念推广到任意
G
{\displaystyle G}
的子集上去，即
C
G
(
S
)
:=
{
a
∈
G
|
∀
g
∈
S
,
a
g
=
g
a
}
{\displaystyle C_G (S) := \{ a \in G | \forall g \in S, ag = ga \}}
称
S
{\displaystyle S}
在
G
{\displaystyle G}
上的中心化子。
特别地，
G
{\displaystyle G}
在
G
{\displaystyle G}
上的中心化子
C
(
G
)
:=
C
G
(
G
)
{\displaystyle C(G):=C_G(G)}
称为群
G
{\displaystyle G}
的中心（center）。例如二面体群
D
n
,
n
>
2
{\displaystyle D_n, n > 2}
的中心当
n
{\displaystyle n}
是偶数时为
{
e
,
r
n
}
{\displaystyle \{ e, \sqrt{r^n} \}}
，
n
{\displaystyle n}
是奇数时为平凡群
{
e
}
.
{\displaystyle \{ e \}.}
性质[]
群中一个元素的中心化子不一定是交换群（考虑平凡元素单位元即可），但是群的中心
C
(
G
)
{\displaystyle C(G)}
是交换群。
G
{\displaystyle G}
是交换群当且仅当
C
(
G
)
=
G
.
{\displaystyle C(G) = G.}
在群
G
{\displaystyle G}
中，若
a
,
b
∈
G
,
a
b
∈
C
(
G
)
{\displaystyle a, b \in G, ab \in C(G)}
，则有
a
b
=
b
a
.
{\displaystyle ab = ba.}
设
f
{\displaystyle f}
是
G
{\displaystyle G}
上的自同构映射，那么
f
(
C
(
G
)
)
⊂
C
(
G
)
.
{\displaystyle f(C(G)) \subset C(G).}
如果
G
/
C
(
G
)
{\displaystyle G/C(G)}
是循环群，那么
G
{\displaystyle G}
是交换群。
参考资料Paolo Aluffi, Algebra: Chapter 0, GTM Vol.104, American Mathematical Society, 2009-08, ISBN 978-1-4704-6571-1.
群论（学科代码：1102115，GB/T 13745—2009）
半群论
半群 ▪ 子半群 ▪ 商半群 ▪ Thierrin 定理 ▪ 半群的同态 ▪ Green 关系 ▪ 正则半群 ▪ 逆半群
群论
群 ▪ 群表 ▪ 群同态 ▪ 交换群 ▪ 自由群 ▪ 自由积 ▪ 群的表示 ▪ 平凡群 ▪ Klein 四元群 ▪ 子群和正规子群 ▪ 陪集和商群 ▪ 群同构定理 ▪ 群的直积 ▪ 群的正合列
群作用
群作用 ▪ 轨道 ▪ 群的中心 ▪ 共轭子群 ▪ 正规化子群 ▪ 共轭群作用 ▪ 群的半直积
有限群理论
置换和对称群 ▪ 交代群 ▪ 循环群 ▪ 置换群 ▪ 二面体群 ▪ Lagrange 定理 ▪ p-群 ▪ pq-群 ▪ Cauchy 定理 ▪ Sylow 定理 ▪ 正规群列 ▪ 群的复合列 ▪ Zassenhaus 定理 ▪ Schreier 定理 ▪ Jordan-Hölder 定理 ▪ 单群 ▪ 导群 ▪ 幂零群 ▪ 可解群 ▪ 有限交换群 ▪ 有限生成的交换群
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