边缘概率密度函数理解与计算
1. 从一个简单的例子开始：身高和体重
2. “边缘”一词的由来
3. 数学定义和直观解释
4. 一个简单的计算示例
1. 从一个简单的例子开始：身高和体重
想象我们研究一个特定人群，同时测量他们的身高（X） 和体重（Y）。
联合概率密度函数 f(x, y) 描述的是：随机选取一个人，其身高恰好在 x 附近，并且体重恰好在 y 附近的“可能性密度”。比如，f(175cm, 70kg) 表示身高在175cm、体重在70kg附近的人的“密集程度”。
现在，如果我们只关心体重，比如我们想问：“随机选一个人，体重在70kg附近的概率密度是多少？” 这时，我们不再区分身高是高是矮。无论他身高是170cm，180cm还是190cm，只要他的体重在70kg附近，都符合我们的条件。
这个“不再关心身高，只想知道体重的概率分布”，就是体重 Y 的边缘概率密度函数。
2. “边缘”一词的由来
这个名字来源于早期在表格（列联表）中的计算。
假设我们将身高和体重离散化成几个区间，并统计每个组合的人数，形成一个表格： 在这个表格中：
中间单元格的数字是联合频数（可以类比联合概率）。
最右边一列“行合计”和最后一行“列合计”就位于表格的边缘。
行合计（35, 50, 32）就是体重的边缘频数。它是在忽略（或积分掉） 身高这个变量后，各个体重区间的总人数。
同样，列合计（17, 60, 40）就是身高的边缘频数。
所以，“边缘概率”就是通过把联合概率表格中“不需要的变量”对应的行或列加总起来，结果写在表格边缘得到的。
3. 数学定义和直观解释
目的：从联合到单一 边缘概率密度函数的目的是从多个随机变量的联合分布中，提取出其中一个（或部分）随机变量自己的概率分布。
方法：积分掉不关心的变量 通过积分 来“忽略”或“消除”那些我们不关心的随机变量。关心谁，就对谁以外的变量积分。
想求 X 的边缘密度？就对 Y 积分。
想求 Y 的边缘密度？就对 X 积分。
几何意义：投影 将一个高维的联合分布（如三维曲面）“投影”到低维的坐标轴上。Y 的边缘密度就是联合密度曲面在 y-z 平面上的投影轮廓。
与离散情况的类比 在离散情况下，“积分”被“求和”所取代。求边缘概率就是把联合概率表中所有其他变量的情况加起来。
4. 一个简单的计算示例
假设 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y) 在区域 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 2 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 2 0≤x≤1,0≤y≤2 上服从均匀分布，即联合概率密度函数为： f ( x , y ) = 1 2 ( 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 2 ) f(x, y) = \frac{1}{2} \quad (0 \le x \le 1, 0 \le y \le 2) f(x,y)=21(0≤x≤1,0≤y≤2)
求 X X X 的边缘密度 f X ( x ) f_X(x) f